Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов

Abstract

Трахтман А.М.Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов От издателяМонография посвящена теории разложения сигналов по различным системам базисных ортогональных функций. В ней рассмотрены (применительно к непрерывным и дискретным сигналам) возможные системы базисных функций, различные типы спектров одного и того же сигнала и взаимосвязь между ними, изменение законов спектрального анализа при смене базиса.На основе обобщенных преобразований Фурье получены нетривиальные обобщения теоремы Винера — Хинчина, преобразований Гильберта, теоремы Котельникова, понятия передаточной функции линейной цепи и т. д.Обобщенная спектральная теория позволяет по-новому подойти к решению проблем ликвидации избыточности и фильтрации сигналов в системах связи, повышения точности и разрешающей способности радиолокационных измерений, цифровой фильтрации сигналов, проектирования линейных цепей с переменными параметрами, синтеза сигналов, линейных цепей и антенн и т. д.Книга не требует от читателя математических знаний, выходящих за рамки вузовского курса, так как в ней по мере надобности приводятся все необходимые сведения. Она рассчитана на инженеров, аспирантов и научных работников, а также на студентов старших курсов. Содержание Показать / Скрыть текст Введение 3Глава 1. Вводные понятия 10— 1.1. Сигналы и их особенности 10— 1.2. Энергия и мощность сигналов 14— 1.3. Простейшие разрывные функции 18— 1.4. Описание сигналов с помощью разрывных функций 22— 1.5. Комплексные сигналы 27— 1.6. Комплексные экспоненциальные колебания 31— 1.7. Четная и нечетная части сигнала. Постоянная и переменная составляющие 35Глава 2. Линейная теория сигналов 38— 2.1. Свойство линейности 38— 2.2. Линейная зависимость сигналов 41— 2.3. Размерность сигналов 44— 2.4. Спектральная теория и теория кодирования 48Глава 3. Системы базисных функций 51— 3.1. Интервал определения сигнала и интервал ортогональности 51— 3.2. Ортонормированная система базисных функций 54— 3.3. Простые и составные системы базисных функций 57— 3.4. Классические системы базисных функций 63— 3.5. Обзор известных систем базисных функций 66— 3.6. Система функций Уолша 73— 3.7. Выделение простых базисных систем 78— 3.8. Мультипликативные базисные системы 80Глава 4. Пространство сигналов 82— 4.1. Векторы и линейное векторное пространство 82— 4.2. Разложение векторов 85— 4.3. Нормированное метрическое пространство 89— 4.4. Сигналы и векторы 91— 4.5. Функциональное пространство L2 93— 4.6. Комплексное функциональное пространство L2 98— 4.7. Геометрическое представление сигналов99— 4.8. Функциональное пространство L1. Кодированные сигналы 104— 4.9. Линейные отображения 109Глава 5. Обобщенный ряд Фурье 112— 5.1. Интерполяция и аппроксимация сигналов 112— 5.2. Аппроксимация сигналов ортогональными многочленами 116— 5.3. Обобщенный ряд Фурье 119— 5.4. Об условиях сходимости ряда Фурье 121Глава 6. Родственные спектры сигналов 124— 6.1. Простые спектры сигнала 124— 6.2. Составной спектр сигнала 126— 6.3. Формальная система базисных функций 128— 6.4. Формальный спектр сигнала 129— 6.5. Комплексный спектр действительного сигнала 134— 6.6. Спектр комплексного сигнала 139— 6.7. Краткий итог главы 143Глава 7. Разложение сигналов на бесконечном интервале времени 148— 7.1. Вводные замечания 148— 7.2. Частота и спектральная плотность 149— 7.3. Системы базисных функций для разложения сигналов на любом интервале времени 154— 7.4. Непрерывные спектры на одностороннем интервале времени 156— 7.5. Непрерывные спектры на симметричном интервале времени 160— 7.6. Дискретные спектры на бесконечном интервале времени 164Глава 8. Временной спектр сигнала 166— 8.1. Разложение сигналов по системе единичных импульсов 166— 8.2. Разложение сигналов по системам дельта-функций 171— 8.3. Временной спектр сигналов, заданных на симметричном интервале времени 173— 8.4. Интеграл Дюамеля 177— 8.5. Интегральная свертка 179— 8.6. Автокорреляционная функция действительного сигнала 182— 8.7. Обобщенная автокорреляционная функция сигнала и ее связь с энергетическим спектром 185Глава 9. Разложение дискретных сигналов 189— 9.1. Решетчатые функции 189— 9.2. Решетчатые базисные функции 193— 9.3. Дискретные базисные функции с неравноотстоящим и отсчетами 202— 9.4. Дискретные преобразования Фурье 205— 9.5. Спектр дискретного сигнала 206— 9.6. Быстрые преобразования Фурье 210Глава 10. Обобщенные преобразования Фурье 215— 10.1. Общая форма преобразований Фурье 215— 10.2. Инвариантность числа отсчетов сигнала 220— 10.3. Взаимность преобразований Фурье 222— 10.4. Анализаторы спектра 227Глава 11. Отображение спектров 232— 11.1. Анализ и фильтрация сигналов 232— 11.2. Ограничение спектра сигнала 234— 11.3. Импульсная характеристика идеального фильтра 241— 11.4. Отображение сигнала из одного пространства в другое 243— 11.5. Особенности отображения различных типов спектров 248— 11.6. Матрицы 252Глава 12. Гильбертовы сигналы 259— 12.1. Гильбертовы сигналы с простыми спектрами 259— 12.2. Гильбертовы сигналы с формальными спектрами 262— 12.3. Гильбертовы сигналы с комплексными спектрами 267— 12.4. Преобразования Гильберта при тригонометрической базисной системе 272— 12.5. Свойства преобразований Гильберта 278— 12.6. Фильтры Гильберта 283— 12.7. Огибающая и фаза сигнала 289— 12.8. Сигналы, ортогональные в усиленном смысле 294— 12.9. Аналитические сигналы 295Глава 13. Об избыточности представления сигналов 299— 13.1. Теорема Котельникова в частотной области 299— 13.2. Теорема Котельникова во временной области 304— 13.3. Теорема Котельникова и гильбертовы сигналы 308— 13.4. «Белый» шум и дельта-импульс 312Глава 14. Некоторые приложения спектральной теории к теории цепей 316— 14.1. Вводные замечания 316— 14.2. Передаточная функция цепи 319— 14.3. Собственный базис линейной цепи 322— 14.4. Примеры определения собственных базисов 325— 14.5. Взаимность линейных цепей 332— 14.6. Линейные цепи н преобразования Гильберта 335Заключение 341Литература 343Список основных обозначений 346Предметный указатель 348