Введение в теорию множеств и теорию функций.

Abstract

Первая часть книги написана П. С. Александровым.Вторая часть, написанная Л. Н. Колмогоровым, посвящена более специальному кругу вопросов: теории меры и интеграла Лебега с применениями к системам ортогональных функций и теории интегральных уравнений с симметрическим ядром. Теория меры и интеграл Лебега возникли по преимуществу из интересов чисто логического порядка: стремления выяснить естественные границы обобщения основных понятии классического анализа. Созданные по этому поводу концепции оказались, однако, соединяющими большую общность с большой простотой: по существу общая теория интеграла Лебега, охватывающая классические теории интегрирования функции одного и многих переменных, как в обычном смысле, так и в смысле Стильтьсса, значительно проще этой совокупности старых теорий, а может быть даже и каждой из них и отдельности. Общий интеграл Лебега (на множестве элементов любой природы и по любой абстрактной мере) сделался чрезвычайно мощным орудием дальнейших исследований в самых различных областях математики. Именно в таком общем и приспособленном к различным применениям виде и излагается во второй части нашего курса теория меры и теория интеграла Лебега. Таким образом, вторая часть ориентирована по преимуществу на интересы университетских студентов-математиков, для которых мера и интеграл Лебега явятся необходимом орудием при изучении теории вероятностей функционального анализа, теории динамических систем и т. д. Постепенно становится ясным, что ориентированный в эту же сторону курс теории меры и интеграла Лебега будет делаться всё более необходимым и специалистам по теоретической физике и по механике. Эта тенденция уже осуществляется в ленинградском университете в курсах математического анализа для механиков В. И. Смирнова и в специальных дополнительных курсах для физиков-теоретиков в Московском университете.