Задачи по стереометрии

Abstract

От издательства Книга содержит около 560 задач, снабженных подробными решениями, и 60 задач для самостоятельной работы. Большинство задач по своей тематике близки к школьной программе. Задачи разбиты на циклы, связанные общей идеей решения. Внутри каждого цикла задачи расположены в порядке возрастания трудности. Такое разбиение поможет читателю ориентироваться в наборе задач и даст ему возможность разобраться непосредственно в заинтересовавшей его теме, не читая подряд всю книгу. Для школьников, преподавателей, студентов педагогических институтов.

Содержание Предисловие. Знакомство со стереометрией. Решения. Глава 1. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. ? 1. Углы и расстояния между скрещивающимися прямыми. ? 2. Углы между прямыми и плоскостями. ? 3. Прямые, образующие равные углы с прямыми и плоскостями. ? 4. Скрещивающиеся прямые. ? 5. Теорема Пифагора в пространстве. ? 6. Метод координат. Задачи для самостоятельного решения. Решения. Глава 2. ПРОЕКЦИИ, СЕЧЕНИЯ, РАЗВЕРТКИ. ? 1. Вспомогательные проекции. ? 2. Теорема о трех перпендикулярах. ? 3. Площадь проекции многоугольника. ? 4. Задачи о проекциях. ? 5. Сечения. ? 6. Развертки. Задачи для самостоятельного решения. Решения. Глава 3. ОБЪЕМ. ? 1. Формулы для объема тетраэдра и пирамиды. ? 2. Формулы для объема многогранников и круглых тел. ? 3. Свойства объема. ? 4. Вычисление объема. ? 5. Вспомогательный объем. Задачи для самостоятельного решения. Решения. Глава 4. СФЕРЫ. ? 1. Длина общей касательной. ? 2. Касательные к сферам. ? 3. Две пересекающиеся окружности лежат на одной сфере. ? 4. Разные задачи. ? 5. Площадь сферической полоски и объем шарового сегмента. ? 6. Радикальная плоскость. ? 7. Сферическая геометрия и телесные углы. Задачи для самостоятельного решения. Решения. Глава 5. ТРЕХГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ ДЛЯ ТРЕХГРАННЫХ УГЛОВ. ? 1. Полярный трехгранный угол. ? 2. Неравенства с трехгранными углами. ? 3. Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов. ? 4. Разные задачи. ? 5. Многогранные углы. ? 6. Теоремы Чевы и Менелая для трехгранных углов. Задачи для самостоятельного решения. Решения. Глава 6. ТЕТРАЭДР, ПИРАМИДА И ПРИЗМА. ? 1. Свойства тетраэдра. ? 2. Тетраэдры, обладающие специальными свойствами. ? 3. Прямоугольный тетраэдр. ? 4. Равногранный тетраэдр. ? 5. Ортоцентрический тетраэдр. ? 6. Достраивание тетраэдра. ? 7. Пирамида и призма. Задачи для самостоятельного решения. Решения. Глава 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ВЕКТОРЫ. ? 1. Скалярное произведение. Соотношения. ? 2. Скалярное произведение. Неравенства. ? 3. Линейные зависимости векторов. ? 4. Разные задачи. ? 5. Векторное произведение. ? 6. Симметрия. ? 7. Гомотетия. ? 8. Поворот. Композиции преобразований. ? 9. Отражение луча света. Задачи для самостоятельного решения. Решения. Глава 8. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ? 1. Разные задачи. ? 2. Признаки невписанности и неописанности многогранников. ? 3. Формула Эйлера. ? 4. Обходы многогранников. ? 5. Пространственные многоугольники. Решения. Глава 9. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ. ? 1. Основные свойства правильных многогранников. ? 2. Взаимосвязи между правильными многогранниками. ? 3. Проекции и сечения правильных многогранников. ? 4. Самосовмещения правильных многогранников. ? 5. Различные определения правильных многогранников. Решения. Глава 10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА. ? 1. Длины, периметры. ? 2. Углы. ? 3. Площади. ? 4. Объемы. ? 5. Разные задачи. 3адачи для самостоятельного решения. Решения. Глава 11. ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ. ? 1. Отрезок с концами па скрещивающихся прямых. ? 2. Площадь и объем. ? 3. Расстояния. ? 4. Разные задачи. Задачи для самостоятельного решения. Решения. Глава 12. ПОСТРОЕНИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК. ? 1. Скрещивающиеся прямые. ? 2. Сфера и трехгранный угол. ? 3. Разные ГМТ. ? 4. Построения на изображениях. ? 5. Построения, связанные с пространственными фигурами. Решения. Глава 13. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. ? 1. Принцип крайнего. ? 2. Принцип Дирихле. ? 3. Выход в пространство. Решения. Глава 14. ЦЕНТР МАСС. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ. ? 1. Центр масс и его основные свойства. ? 2. Момент инерции. ? 3. Барицентрические координаты. Решения. Глава 15. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ. ? 1. Примеры и контрпримеры. ? 2. Целочисленные решетки. ? 3. Разрезания. Разбиения. Раскраски. ? 4. Задачи-одиночки. Решения. Глава 16. ИНВЕРСИЯ И СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ. ? 1. Свойства инверсии. ? 2. Сделаем инверсию. ? 3. Наборы касающихся сфер. ? 4. Стереографическая проекция. Решения. Приложение. Задачи для самостоятельного решения. Список рекомендуемой литературы.

Другие выпуски серии на сайте Вып. 1 - Ченцов Н. Н., Шклярский Д. О., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра Вып. 2 - Ченцов Н. Н., Шклярский Д. О., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия) Вып. 3 - Ченцов Н. Н., Шклярский Д. О., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (стереометрия) Вып. 4 - Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры Вып. 5 - Яглом И. М., Яглом А. М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении Вып. 6 - Дынкин Е. Б., Успенский В. А. Математические беседы Вып. 7 - Яглом И. М. Геометрические преобразования. Том 1 Вып. 8 - Яглом И. М. Геометрические преобразования. Том 2 Вып. 9 - Балк М. Б. Геометрические приложения понятия о центре тяжести Вып. 10 - Радемахер Г., Тёплиц О. Числа и фигуры Вып. 11 - Яглом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия Вып. 12 - Ченцов Н. Н., Шклярский Д. О., Яглом И. М. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум Вып. 13 - Ченцов Н. Н., Шклярский Д. О., Яглом И. М. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии Вып. 14 - Коксетер Г. М., Грейтцер С. Новые встречи с геометрией Вып. 15, 16 - Прасолов В. В. Задачи по планиметрии Вып. 17 - Зарубежные математические олимпиады (под ред. И. Н. Сергеева) Вып. 18 - Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи всесоюзных математических олимпиад