Элементы математической логики

Abstract

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Интенсивное развитие математической логики в последнее время сопровождается увеличением ее роли в математике. Одной из основных задач математической логики остается анализ оснований математики.Но в настоящее время она уже вышла из рамок этой задачи и оказала существенное влияние на развитие самой математики. Из ее идей возникло точное определение понятия алгоритма, что позволило решить многие вопросы, которые без этого оставались бы в принципе неразрешимыми. Возникший в математической логике аппарат нашелприложение в вопросах конструкций вычислительных машин и автоматических устройств. Со времени выхода в свет первого издания настоящей книги прошло 14 лет. За это время задача ознакомления широкого круга математиков с основами математической логики стала еще более актуальной. В настоящей книге была сделана попытка дать по возможности доступное изложение основ математической логики. Этой задаче посвящены первые пять глав книги, составляющие её основное содержание. Последняя, шестая, глава носит более специальный характер и уже не является столь элементарной. В ней рассматриваются методы теории доказательства, посредством которых решаютсянекоторые вопросы математической логики, возникающие в основном тексте книги.Настоящее издание по содержанию не отличается от первого издания. В нем исправлены опечатки и заменены устаревшие термины. В частности, удален термин «истинная в данном исчислении формула», который в первом издании использовался как синоним термина «выводимая в данном исчислении формула». Таким образом, исключена возможность смешения этого понятия с содержательной истинностью формул.Книга не претендует на полноту освещения всех развивающихся в настоящее время важных направлений в математической логике. Некоторые из этих направлений не затронуты вовсе. С разделами математической логики, которые не отражены в настоящей книге, читатель сможет ознакомиться по книгам: С.К.Клини, Введение в метаматематику, ИЛ, 1957. А. И. Мальцев, Алгоритмы и рекурсивные функции, «Наука», 1965. А. А. Марков, Теория алгорифмов, Труды Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, Изд-во АН СССР, 1954. Э. Мендельсон, Введение в математическую логику, «Наука», 1971.